Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Сравнения и их основные свойства
Введение
Актуальность. Теория сравнений – не только увлекательная тема, но и необходимая при решении множества практических задач. Сравнения по модулю впервые использовались К.Ф. Гауссом в его книге «Арифметические исследования» в 1801 г. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений. Эта тема актуальна и сегодня. Теорию сравнений используют при проверке результатов арифметических действий; выводе новых или доказательстве существующих делимостей чисел; проверке, является ли число простым и т.д. С помощью теории сравнений можно легко проверить результаты вычислений.
Методы теории сравнений используются в теории чисел, теории групп, теории колец, теории узлов, общей алгебре, криптографии, информатике, химии и других областях. Например, сравнения часто применяются для вычисления контрольных сумм, используемых в идентификаторах. Так для определения ошибок при вводе международного номера банковского счета используется сравнение по модулю 97 [3].
В криптографии сравнения можно встретить в системах с открытым ключом, использующих, например, алгоритм RSA или протокол Диффи ? Хеллмана. Также, модульная арифметика обеспечивает конечные поля, над которыми затем строятся эллиптические кривые, и используется в различных протоколах с симметричным ключом (AES, IDEA) [4].
В химии последняя цифра в регистрационном номере CAS является значением контрольной суммы, которая вычисляется путём сложения последней цифры номера, умноженной на 1, второй справа цифры, умноженной на 2, третьей, умноженной на три и так далее до первой слева цифры, завершаясь вычислением остатка от деления на 10.
В качестве простого применения теории сравнений можно рассмотреть составление расписаний соревнований, проходящих по круговой системе (например, чемпионат по футболу). Можно разработать алгоритм составления расписаний, основанный на результатах теории сравнений и использовать его для составления play-листа музыкальных композиций по следующим правилам:
одна композиция не может звучать более одного раза в час;
наборы и порядок проигрывания композиций в разных часах должны отличаться;
*
*
*
Глава 1. Сущность полной и приведенной систем вычетов, основные понятия, теоремы
1.1. Краткая историческая справка
Предпосылкой к созданию теории сравнений стало восстановление сочинений Диофанта, которые были выпущены в подлиннике и с латинским переводом, благодаря Баше де Мезириаку, в 1621 г. Их изучение привело Ферма к открытиям, которые по значению существенно опередили свое время. Например, в письме от 18 октября 1640 года он сообщил без доказательства теорему, впоследствии получившую название малой теоремы Ферма. В современной формулировке теорема утверждает, что если p ? простое число и a ? целое число, не делящееся на p, то a^(p-1)?1 mod(p).