Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Соотношения в группах, свободные группы и многообразие групп
Введение
Понятие симметричности, которое, казалось, является достаточно естественным, волновало человека издревле. Одним из вариантов определения уровня симметричности фигуры можно назвать число движений, которые переводят фигуру в совмещаемую с нею. Например, сравнивая квадрат, для которого определены восемь таких движений, и круг, с бесконечным множеством таких движений, получаем, что в этом смысле круг «симметричнее» квадрата.
Если рассмотреть множество движений, при которых данная фигура совмещается с собою же, то размер этого множества определяет уровень симметричности фигуры. На этом множестве можно определить операцию композиции, которая двум движениям ставит в соответствие последовательное их выполнение. Введенная операция является ассоциативной, на множестве существует нейтральный элемент, который представлен тождественным преобразованием, и обратный для каждого движения, который возвращает фигуру в исходное положение.
Введенное множество называют группой. Идеи групп начал использовать еще Лагранж, который применял их свойства для изучения решения алгебраических уравнений в радикалах. Далее эти вопросы появлялись в работах Руффини, Абеля и Галуа, который и ввел сам термин «группа». Параллельно возникло понятие «группы преобразований», которую ввел Клейн для установления связей между различными геометриями, появившимися в XIX веке.......................
1 Определения, обозначения, используемые известные результаты
Определение 1. Под группой понимают моноид, для которого для любого элемента применима операция обратимости. В общем случае операций моноида называется групповой операцией [6].
Среди известных групп, свойства которых получили широкое применение, выделяют:
1) абелевы группы, для которых операция на моноиде является ещё и коммутативной;
2) аддитивные, на которых определена операция, называемая суммой и группа характеризуется наличием нейтрального элемента, а для каждого кроме нейтрального существует противоположный элемент;
3) движений, которая определяется преобразованиями пространства, а в качестве элементов выступают движения этого пространства и групповой операцией является выполнение двух последовательных движений;
4) симметрическая, представляющая собой группу подстановок фиксированного конечного множества, групповая операция определяется как умножение подстановок;
5) циклическая, имеющая систему образующих, которая состоит из одного элемента (элементы группы являются степенями одного элемента).
Определение 2. Непустое множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой , если выполнены следующие аксиомы:
1) ассоциативности ;
.........